Er is geen betekenisverschil, wel een verschil in gebruik.
verbonden aan
wijst op een formeel verband
Er zijn geen kosten verbonden aan deze aanvraag.
verbonden met
wijst meer algemeen op een verband of verbinding
Is Rotterdam-Zuid per metro rechtstreeks verbonden met Den Haag?
Omdat verbonden aan nogal formeel klinkt, wordt alleen met gebruikt wanneer het om een persoonlijke band gaat: Deze therapie heeft mij opnieuw verbonden met mijn ik. Dus Piet is verbonden aan dit instituut betekent dat Piet er een baan heeft. En Piet is verbonden met dit instituut geeft eerder een meer persoonlijke betrokkenheid aan.
